Dalam suatu deret aritmatika, jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, sedangkan jumlah 12 suku pertamanya adalah 129. Jika suku ke-\(n\) adalah 193, nilai \(n = \cdots\)
- 118
- 122
- 126
- 128
- 130
Pembahasan:
Karena jumlah suku ke-3 dan ke-5 adalah 14, maka kita peroleh:
\begin{aligned} U_3 + U_5 &= 14 \\[8pt] (a+2b)+(a+4b) &= 14 \\[8pt] 2a+6b &= 14 \\[8pt] 2a &= 14-6b \qquad \cdots (1) \end{aligned}
Karena jumlah 12 suku pertamanya adalah 129, kita peroleh:
\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1) \cdot b) \\[8pt] S_{12} &= \frac{12}{2}((14-6b)+(12-1)b) \\[8pt] 129 &= 6(14+5b) \\[8pt] 129 &= 84 + 30b \\[8pt] 30b &= 129-84 \\[8pt] b &= \frac{45}{30} = \frac{3}{2} \end{aligned}
Selanjutnya, substitusi nilai \(b = \frac{3}{2}\) ke persamaan (1) yang diperoleh di atas.
\begin{aligned} 2a &= 14-6b \\[8pt] 2a &= 14-6 \cdot \frac{3}{2} \\[8pt] 2a &= 5 \Rightarrow a = \frac{5}{2} \end{aligned}
Dari soal diketahui bahwa suku ke-\(n\) adalah 193, maka dapat kita tuliskan:
\begin{aligned} U_n &= a+(n-1)b \\[8pt] 193 &= \frac{5}{2}+(n-1) \cdot \frac{3}{2} \\[8pt] 386 &= 5+(n-1) \cdot 3 \\[8pt] 381 &= 3(n-1) \\[8pt] n-1 &= \frac{381}{3} = 127 \\[8pt] n &= 127+1 = 128 \end{aligned}
Jadi, nilai \(n\) adalah 128.
Jawaban D.